Question

8．如图，AD、A′D′分别是△ABC、△A′B′C′的角平分线，且$\frac{AB}{A′B′}$=$\frac{BD}{B′D′}$=$\frac{AD}{A′D′}$．图中有哪几对相似三角形？把它们表示出来，并证明．

Answer 1

分析 根据相似三角形的判定与性质进行解答．

解答 解：∵$\frac{AB}{A′B′}$=$\frac{BD}{B′D′}$=$\frac{AD}{A′D′}$，
∴△ABD∽△A′B′D′，
∴∠B=∠B′，∠BAD=∠B′A′D′．
∵AD、A′D′分别是△ABC、△A′B′C′的角平分线，
∴∠BAC=∠B′A′C′=2∠BAD，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴∠C=∠C′．
又∵∠CAD=∠C′A′D′=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴△CAD∽△C′A′D′．
综上所述，图中的相似三角形有3对：△ABD∽△A′B′D′，△ABC∽△A′B′C′，△CAD∽△C′A′D′．

点评 本题考查了相似三角形的判定．
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．