Question

3．我们知道：$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{1×2}$，$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2×3}$，┅┅
那么反过来也成立如：$\frac{1}{1×2}$=$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$┅┅，$\begin{array}{l}\frac{1}{n×（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
利用上面的规律计算：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+$\frac{1}{4×5}$+┅┅+$\frac{1}{98×99}$+$\frac{1}{99×100}$
拓展：$\frac{2}{1×3}$+$\frac{2}{3×5}$+$\frac{2}{5×7}$+$\frac{2}{7×9}$+┅┅+$\frac{2}{97×99}$+$\frac{2}{99×101}$．

Answer 1

分析 根据连续整数乘积的倒数等于各自倒数的差可得，根据以上规律列项求解可得．

解答 解：根据题意知$\begin{array}{l}\frac{1}{n×（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+$\frac{1}{4×5}$+┅┅+$\frac{1}{98×99}$+$\frac{1}{99×100}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{98}$-$\frac{1}{99}$+$\frac{1}{99}$-$\frac{1}{100}$
=1-$\frac{1}{100}$
=$\frac{99}{100}$，
$\frac{2}{1×3}$+$\frac{2}{3×5}$+$\frac{2}{5×7}$+$\frac{2}{7×9}$+┅┅+$\frac{2}{97×99}$+$\frac{2}{99×101}$
=1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{97}$-$\frac{1}{99}$+$\frac{1}{99}$-$\frac{1}{101}$
=1-$\frac{1}{101}$
=$\frac{100}{101}$，
故答案为：$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．

点评 本题主要考查数字的变化规律，根据题意得出连续整数乘积的倒数等于各自倒数的差是解题的关键．