Question

17．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOD=120°，BD=6，求矩形ABCD的面积．

Answer 1

分析 首先根据矩形的性质可得AO=DO，然后再计算出∠ADB的度数，再根据直角三角形的性质可得AD的长，再利用勾股定理计算出AD长，然后再根据矩形的面积公式可得矩形ABCD的面积．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AC=BD，OA=$\frac{1}{2}$AC，OD=$\frac{1}{2}$BD，
∴OA=OD，
∵∠AOD=120°，
∴∠ADO=30°
∴AB=$\frac{1}{2}$BD．
在直角三角形ABD中，由勾股定理，得
AD=$\sqrt{B{D}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$
∴S_矩形ABCD=AB•AD=3×3$\sqrt{3}$=9$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了勾股定理的应用，以及矩形的性质和直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．