Question

试证：如果a＜b＜c，则二次方程（x-b）（x-c）+（x-c）（x-a）+（x-a）（x-b）=0的一个根在a，b之间，另一个根在b，c之间．

Answer 1

解：当x=a时，（x-b）（x-c）+（x-c）（x-a）+（x-a）（x-b）=（a-b）（a-c），
而a＜b＜c，
∴a-b＜0，a-c＜0，
∴（a-b）（a-c）＞0，
当x=b时，（x-b）（x-c）+（x-c）（x-a）+（x-a）（x-b）=（b-c）（b-a），
而a＜b＜c，
∴b-a＞0，b-c＜0，
∴（b-c）（b-a）＜0，
当x=c时，（x-b）（x-c）+（x-c）（x-a）+（x-a）（x-b）=（c-a）（c-b），
而a＜b＜c，
∴c-a＞0，c-b＞0，
∴（c-a）（c-b）＞0，
∴二次方程（x-b）（x-c）+（x-c）（x-a）+（x-a）（x-b）=0的一个根在a，b之间，另一个根在b，c之间．
分析：由于要证明二次方程（x-b）（x-c）+（x-c）（x-a）+（x-a）（x-b）=0的一个根在a，b之间，另一个根在b，c之间，计算证明当x=a、b时方程的左边（x-b）（x-c）+（x-c）（x-a）+（x-a）（x-b）一个大于0，一个小于0，当x=b、c时，也是如此．由此即可解决解决问题．
点评：此题主要考查了一元二次方程的解和抛物线与x轴交点的坐标的对应关系，也利用了方程的解就是函数值为0时对应的自变量的取值，同时也利用了数形结合的思想，此题比较复杂，对于学生的能力要求比较高，平时应该注意训练．