Question

已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴上的两点，点A在点B的左侧，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点A、B，与y轴相交于点C．
（1）如图情况下：a、c的符号之间有何关系？
（2）如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试证a、c互为倒数；
（3）在（2）的条件下，如果b=-4，AB=4，求a、c的值．

Answer 1

解：（1）由图可知：当抛物线开口向下，即a＜0时，c＜0；
当抛物线开口向上，即a＞0时，c＞0；
因此a、c同号．

（2）设A（m，0），B（n，0），
抛物线的解析式y=ax²+bx+c中，令y=0，
得：ax²+bx+c=0，
故OA•OB=mn=；
而OC²=c²，若OA•OB=OC²，
则：=c²，
解得ac=1；
所以a、c互为倒数．

（3）由题意知：y=ax²-4x+，
则：m+n=，mn=；
若AB=4，即AB²=48，
所以：（n-m）²=48，
即（m+n）²-4mn=48，
=48，
解得a=±；
故c==±2；
因此a、c的值分别为：、2或-、-2．
分析：（1）此题较简单，根据A、B点的位置即可判断出当抛物线开口向下时，函数图象与y轴交于负半轴，当抛物线开口向上时，函数图象与y轴交于正半轴，即a、c同号．
（2）当CO²=OA•OB时，可用c表示出OC，用a、c表示出OA•OB，代入上式即可求得a、c是否为倒数关系．
（3）此题可沿用（2）的思路，首先将b值代入抛物线的解析式中，可依据韦达定理表示出AB的长，几何a、c的倒数关系，即可求得a、c的值．
点评：此题主要考查的是二次函数图象与系数的关系以及根与系数的关系，难度适中．