Question

17．对于二次函数y=x²-2mx-3，有下列说法：
①它的图象与x轴有两个公共点；
②如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1；
③如果将它的图象向右平移3个单位后过原点，则m=-1；
④如果当x=3时的函数值与x=2013时的函数值相等，则当x=2016时的函数值为-3．
其中正确的说法有①④．（填写序号）

Answer 1

分析 ①根据函数与方程的关系解答；
②找到二次函数的对称轴，再判断函数的增减性；
③将m=-1代入解析式，求出和x轴的交点坐标，即可判断；
④根据坐标的对称性，求出m的值，得到函数解析式，将m=2016代入解析式即可．

解答 解：解：①∵△=4m²-4×（-3）=4m²+12＞0，∴它的图象与x轴有两个公共点，故本选项正确；
②∵当x≤1时y随x的增大而减小，
∴函数的对称轴x=-$\frac{-2m}{2}$≥1在直线x=1的右侧（包括与直线x=1重合），
则-$\frac{-2m}{2}$≥1，即m≥1，故本选项错误；
③将m=-1代入解析式，得y=x²+2x-3，当y=0时，得x²+2x-3=0，即（x-1）（x+3）=0，解得，x₁=1，x₂=-3，将图象向左平移3个单位后不过原点，故本选项错误；
④∵当x=3时的函数值与x=2013时的函数值相等，∴对称轴为x=$\frac{3+2013}{2}$=1008，则-$\frac{-2m}{2}$=1008，m=1008，原函数可化为y=x²-2016x-3，当x=2016时，y=2016²-2016×2016-3=-3，故本选项正确．
故答案为①④．

点评 本题考查了二次函数的性质、二次函数的图象与几何变换、抛物线与x轴的交点，综合性较强，体现了二次函数的特点．