Question

【题目】如图1，抛物线，经过A（1，0）、B（7，0）两点，交y轴于D点，以AB为边在x轴上方作等边△ABC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点M，是S△ABM=S△ABC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，E是线段AC上的动点，F是线段BC上的动点，AF与BE相交于点P．

①若CE=BF，试猜想AF与BE的数量关系及∠APB的度数，并说明理由；

②若AF=BE，当点E由A运动到C时，请直接写出点P经过的路径长（不需要写过程）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）点M的坐标为（9，4）或（﹣1，4）；（3）①AF=BE，∠APB=120°；②或．

【解析】解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为y=ax2+bx+．

∵将点A、B的坐标代入得： 解得：a=，b=﹣2，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x+．

（2）存在点M，使得S△AMB=S△ABC．

理由：如图所示：过点C作CK⊥x轴，垂足为K．

∵△ABC为等边三角形，

∴AB=BC=AC=6，∠ACB=60°．

∵CK⊥AB，

∴KA=BK=3，∠ACK=30°．

∴CK=3．

∴S△ABC=ABCK=×6×3=9．

∴S△ABM=×=12．

设M（a，a2﹣2a+）．

∴AB|yM|=12，即×6×（a2﹣2a+）=12．

解得=9， =﹣1．

∴M1（9，4），M2（﹣1，4）．

（3）①结论：AF=BE，∠APB=120°．

理由：如图所示；

∵△ABC为等边三角形，

∴BC=AB，∠C=∠ABF．

∵在△BEC和△AFB中， ，

∴△BEC≌△AFB．

∴AF=BE，∠CBE=∠BAF．

∴∠FAB+∠ABP=∠ABP+∠CBE=∠ABC=60°．

∴∠APB=180°﹣∠PAB﹣∠ABP=180°﹣60°=120°．

②点P经过的路径长为或3．