Question

如图，中国人民解放军空军某部某进行飞行演习，飞行员驾驶战鹰掠过某圆形区域点，在演习总部的战区示意图上显示，战鹰的轨迹为抛物线y=x²+bx+c$，圆形区域圆心M距指挥中心O距离为4千米、半径为2千米，圆与x轴交于点A、B．战鹰从y轴上的C点过来，刚好掠过点A和B．
（1）求点C的坐标，确定战鹰的轨迹抛物线的解析式；
（2）战鹰轨迹上有点Q（8，m），点P为此抛物线对称轴上一个移动观察哨，求PQ-PA的最大值；
（3）CE是过点C的⊙M的切线，点E是切点，在抛物线上是否存在一点N，使△CON的面积等于△COE的面积？

Answer 1

【答案】分析：（1）求抛物线解析式的待定系数，将A（2，0），B（6，0）代入即可；（2）由抛物线解析式可求对称轴及Q（8，m）的纵坐标值；由抛物线对称性可知PQ=PC，在△PAC中，PQ-PA=PC-PA＜AC，最大值为AC；（3）通过三角形全等求直线CM，OE的解析式，再求点E坐标，过E作y轴平行线，与抛物线的交点即为所求N点．
解答：解：（1）由已知，得A（2，0），B（6，0），
∵抛物线y=x²+bx+c过点A和B，则
．
解得．
则抛物线的解析式为y=x²-x+2
故C（0，2）．（说明：抛物线的大致图象要过点A、B、C，其开口方向、顶点和对称轴相对准确）

（2）由抛物线的解析式y=x²-x+2可求出抛物线对称轴l是x=4．
当x=8时，y=m=•8²-•8+2=2．PQ-PA的最大值=AC=2．
（3）如图②，连接EM和CM．
由已知，得EM=OC=2．
CE是⊙M的切线，
∴∠DEM=90°，则∠DEM=∠DOC．
又∵∠ODC=∠EDM．
故△DEM≌△DOC．
∴OD=DE，CD=MD．
又在△ODE和△MDC中，∠ODE=∠MDC，∠DOE=∠DEO=∠DCM=∠DMC．
则OE∥CM．
设CM所在直线的解析式为y=kx+b，CM过点C（0，2），M（4，0），
∴．
解得．
直线CM的解析式为y=x+2．
又∵直线OE过原点O，且OE∥CM，
则OE的解析式为y=x．
如图②，连接EM和CM．显然△DEM≌△DOC．
∴OD=DE，CD=MD．
设OD=x，CD=4-x，可求得OD=1.5，CD=2.5然后求出E点的坐标（2.4，-1.2）．
最后过E点作y轴的平行线与抛物线的交点即为所求．另外在y轴的左侧也有一个符合要求．
点评：本题考查了应用二次函数与圆有关知识进行探究综合的能力．体现了由数形结合的数学思想，既考查了有关计算能力，又包含了二次函数的有关知识，要求学生具备一定的探究能力与对所学知识的整合应用能力．解答本题关键是抓住每一种情形中各种量的关系．