Question

如图，直线l与⊙O交于A，B两点，且与半径OC垂直，垂足为点D，连接AC，在线段OA的延长线上取一点E，使AE=AC，连接CE．已知OA=4，∠O=60°
（1）求线段AB的长；
（2）求证：CE是⊙O的切线；
（3）请指出图中哪两个图形为位似图形，并直接写出它们的位似中心和位似比．

Answer 1

解：（1）∵OC⊥AB，
∴AD=BD=AB，
∵在Rt△OAD中，OA=4，∠O=60°，
∴AD=OA•sin∠O=4×=2，
∴AB=2AD=4；

（2）证明：∵OA=OC，∠O=60°，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠OAC=∠OCA=60°，
∵AE=AC，
∴∠E=∠ACE，
∵∠OAC=∠E+∠ACE，
∴∠ACE=30°，
∴∠OCE=∠OCA+∠ACE=90°，
即OC⊥CE，
∵点C在⊙O上，
∴CE是⊙O的切线；

（3）∵OC⊥AB，OC⊥CE，
∴AB∥CE，
∴△OAD∽OEC，
∵△OAC是等边三角形，
∴OA=CE，
∵AE=CE，
∴OA=AE，
∴相似比为：．
∵EA与CD交于点O，
∴△OAD与△OEC为位似图形，其中点O是位似中心，位似比为：．
分析：（1）由OC⊥AB，根据垂径定理可得AD=BD=AB，然后在Rt△OAD中，OA=4，∠O=60°，利用三角函数的性质，即可求得AD的长，继而求得线段AB的长；
（2）由OA=OC，∠O=60°，可得△OAC是等边三角形，又由AE=AC，然后由等边三角形的性质与等腰三角形的性质，求得∠OCA与∠ACE的度数，即可判定CE是⊙O的切线；
（3）易得△OAD∽△OEC，即可得：△OAD与△OEC为位似图形，其中点O是位似中心，位似比为：．
点评：此题考查了切线的判定、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．