已知二次函数y=﹣x2+bx+c的对称轴为x=2,且经过原点,直线AC解析式为y=kx+4,
(1)求二次函数解析式;
(2)若=,求k;
(3)若以BC为直径的圆经过原点,求k.
(1)二次函数解析式:y=﹣x2+4x.
(2)k=﹣1.
(3)k=﹣.
解析试题分析:(1)根据对称轴为x==2,且函数过(0,0),则可得出b,c,从而得到函数解析式.
(2)=,而且这两个三角形为同高不同底的三角形,易得=,考虑计算方便可作B,C对x轴的垂线,进而有B,C横坐标的比为=.由B,C为直线与二次函数的交点,则联立可求得B,C坐标.由上述倍数关系,则k易得.
(3)以BC为直径的圆经过原点,易得∠BOC=90°,由(2)可发现B,C横纵坐标恰好可表示出EB,EO,OF,OC.而由∠BOC=90°,易证△EBO∽△FOC,即EB•FC=EO•FO.由此构造方程即可得k值.
试题解析: (1)∵二次函数y=﹣x2+bx+c的对称轴为x=2,且经过原点,
∴﹣=2,0=0+0+c,
∴b=4,c=0,
∴y=﹣x2+4x.
(2)如图1,连接OB,OC,过点B作BE⊥y轴于E,过点C作CF⊥y轴于F,
∵=,
∴=,
∴=,
∵EB//FC,
∴==.
∵y=kx+4交y=﹣x2+4x于B,C,
∴kx+4=﹣x2+4x,即x2+(k﹣4)x+4=0,
∴△=(k﹣4)2﹣4•4=k2﹣8k,
∴x=,或x=,
∵xB<xC,
∴EB=xB=,FC=xC=,
∴4•=,
解得 k=9(交点不在y轴右边,不符题意,舍去)或k=﹣1.
∴k=﹣1.
(3)∵∠BOC=90°,
∴∠EOB+∠FOC=90°,
∵∠EOB+∠EBO=90°,
∴∠EBO=∠FOC,
∵∠BEO=∠OFC=90°,
∴△EBO∽△FOC,
∴,
∴EB•FC=EO•FO.
∵xB=,xC=,且B、C过y=kx+4,
∴yB=k•+4,yC=k•+4,
∴EO=yB=k•+4,OF=﹣yC=﹣k•﹣4,
∴•=(k•+4)•(﹣k•﹣4),
整理得 16k=﹣20,
∴k=﹣.
考点:1、函数图象交点的性质;2、相似三角形性质;3、一元二次方程;4、圆周角定理
科目:初中数学 来源: 题型:计算题
在“母亲节”期间,某校部分团员参加社会公益活动,准备购进一批许愿瓶进行销售,并将所得利润捐给慈善机构.根据市场调查,这种许愿瓶一段时间内的销售量(个)与销售单价(元/个)之间的对应关系如图所示:
(1)观察图象判断与之间的函数关系,并求出函数关系式;
(2)若许愿瓶的进价为6元/个,按照上述市场调查的销售规律,求销售利润(元)与销售单价(元/个)之间的函数关系式;
(3)若许愿瓶的进货成本不超过900元,要想获得最大的利润,试确定这种许愿瓶的销售单价,并求出此时的最大利润.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
如图1,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=DC=5,BC=11.一个动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿线段BC方向运动,过点P作PQ⊥BC,交折线段BA-AD于点Q,以PQ为边向右作正方形PQMN,点N在射线BC上,当Q点到达D点时,运动结束.设点P的运动时间为t秒(t>0).
(1)当正方形PQMN的边MN恰好经过点D时,求运动时间t的值;
(2)在整个运动过程中,设正方形PQMN与△BCD的重合部分面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围;
(3)如图2,当点Q在线段AD上运动时,线段PQ与对角线BD交于点E,将△DEQ沿BD翻折,得到△DEF,连接PF.是否存在这样的t,使△PEF是等腰三角形?若存在,求出对应的t的值;若不存在,请说明理由.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
已知二次函数,其图像抛物线交轴的于点A(1,0)、B(3,0),交y轴于点C.直线过点C,且交抛物线于另一点E(点E不与点A、B重合).
(1)求此二次函数关系式;
(2)若直线经过抛物线顶点D,交轴于点F,且∥,则以点C、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求出点E的坐标;若不能,请说明理由.
(3)若过点A作AG⊥轴,交直线于点G,连OG、BE,试证明OG∥BE.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台,空调的采购单价y1(元/台)与采购数量x1(台)满足y1=﹣20x1+1500(0<x1≤20,x1为整数);冰箱的采购单价y2(元/台)与采购数量x2(台)满足y2=﹣10x2+1300(0<x2≤20,x2为整数).
(1)经商家与厂家协商,采购空调的数量不少于冰箱数量的,且空调采购单价不低于1200元,问该商家共有几种进货方案?
(2)该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱,且全部售完.在(1)的条件下,问采购空调多少台时总利润最大?并求最大利润.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+4与x轴的一个交点为A(-2,0),与y轴的交点为C,对称轴是x=3,对称轴与x轴交于点B.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)经过B,C的直线l平移后与抛物线交于点M,与x轴交于点N,当以B,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形时,求出点M的坐标;
(3)若点D在x轴上,在抛物线上是否存在点P,使得△PBD≌△PBC?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
如图1,在平面直角坐标系中,点A、C分别在y轴和x轴上,AB∥x轴,sinC=,点P从O点出发,沿边OA、AB、BC匀速运动,点Q从点C出发,以1cm/s的速度沿边CO匀速运动。点P与点Q同时出发,其中一点到达终点,另一点也随之停止运动.设点P运动的时间为t(s),△CPQ的面积为S(cm2), 已知S与t之间的函数关系如图2中曲线段OE、线段EF与曲线段FG给出.
(1)点P的运动速度为 cm/s, 点B、C的坐标分别为 , ;
(2)求曲线FG段的函数解析式;
(3)当t为何值时,△CPQ的面积是四边形OABC的面积的?
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系xOy中,二次函数的图象经过(,0)和(,0)两点.
(1)求此二次函数的表达式.
(2)直接写出当<x<1时,y的取值范围.
(3)将一次函数 y=(1-m)x+2的图象向下平移m个单位后,与二次函数图象交点的横坐标分别是a和b,其中a<2<b,试求m的取值范围.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知抛物线y=ax2+2x+c的顶点为A(―1,―4),与y轴交于点B,与x轴负半轴交于点C.
(1)求这条抛物线的函数关系式;
(2)点P为第三象限内抛物线上的一动点,连接BC、PC、PB,求△BCP面积的最大值,并求出此时点P的坐标;
(3)点E为抛物线上的一点,点F为x轴上的一点,若四边形ABEF为平行四边形,请直接写出所有符合条件的点E的坐标.
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