Question

9．如图，等边△ABC的边长为6，P沿C→B→A运动，Q沿B→A→C运动，且速度都为每秒2个单位，△BPQ面积为y，则y与运动时间x秒的函数的图象大致为（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 分两个阶段进行计算：
①当P在BC上运动时，即当0≤t≤3时，如图1，
②当P在AB上运动时，即当3＜t≤6时，如图2，
分别根据三角形面积公式代入求面积即可，得到解析式后确定函数图象形状，作判断．

解答 解：当0≤t≤3时，如图1，
由题意得：PC=2t，BQ=2t，则BP=6-2t，
过Q作QD⊥BC于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
sin60°=$\frac{QD}{BQ}$，
∴QD=2t$•\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$t，
∴y=S_△BPQ=$\frac{1}{2}$PB•QD=$\frac{1}{2}$（6-2t）$•\sqrt{3}$t=-$\sqrt{3}{t}^{2}$+3$\sqrt{3}$t；
所以选项A和D不正确；
当3＜t≤6时，如图2，
由题意得：BP=AQ=6-2t，
过Q作QE⊥AB于E，
∵∠A=60°，
同理可得：sin60°=$\frac{EQ}{AQ}$，
∴EQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（6-2t）=$\sqrt{3}$（3-t），
∴y=S_△BPQ=$\frac{1}{2}$BP•EQ=$\frac{1}{2}$（6-2t）$•\sqrt{3}$（3-t）=$\sqrt{3}$（3-t）²；
所以选项B不正确，选项C正确；
故选C．

点评 本题考查了两个动点运动的问题，明确动点运动的距离和位置是关键，利用数形结合的思想，把不同阶段时面积的解析式求出即可作出判断．