Question

13．如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（-1，0），抛物线y=a（x-h）²+k过点C，顶点M位于第一象限且在线段AB的垂直平分线上．若抛物线与线段AB无公共点，则k的取值范围是（　　）

• A． 0＜k＜2
• B． 0＜k＜2或k＞$\frac{8}{3}$
• C． k＞$\sqrt{7}$
• D． 0＜k＜2或k＞$\sqrt{7}$

Answer 1

分析 由点A、B的坐标结合抛物线y=a（x-h）²+k的顶点M位于第一象限且在线段AB的垂直平分线上，即可得出h值以及k＞0，分点M在线段AB下方及点M在线段AB上方两种情况考虑抛物线与线段AB无公共点，当点M在线段AB下方时，根据点M的坐标即可得出0＜k＜2；当点M在线段AB上方时，由抛物线过点C及当x=0时y值大于2，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k＞$\frac{8}{3}$．综上即可得出结论．

解答 解：∵抛物线y=a（x-h）²+k的顶点M位于第一象限且在线段AB的垂直平分线上，且点A（0，2），B（2，2），
∴h=1，k＞0．
抛物线与线段AB无公共点分两种情况：
当点M在线段AB下方时，∵点M的坐标为（1，k），
∴0＜k＜2；
当点M在线段AB上方时，有$\left\{\begin{array}{l}{a（-1-1）^{2}+k=0}\\{a（0-1）^{2}+k＞2}\end{array}\right.$，
解得：k＞$\frac{8}{3}$．
综上所述：k的取值范围为0＜k＜2或k＞$\frac{8}{3}$．
故选B．

点评 本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及线段垂直平分线的性质，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键．