Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，直线CG与⊙O相切于点C，CG∥AE，CG与BA的延长线交于点G，过点C作CD⊥AB于点D，交AE于点F．
（1）求证： ；
（2）若∠EAB=30°，CF=a，写出求四边形GAFC周长的思路．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OC，如图．

∵直线CG与⊙O相切于点C，

∴CG⊥OC．

∵CG∥AE，

∴AE⊥OC．

又∵OC为⊙O的半径，

∴

（2）证明：解：连接AC，如图．

由∠EAB=30°，CG∥AE，可得∠CGB=30°，

又由直线CG与⊙O相切于点C，∠AOC=60°，

可推出△AOC是等边三角形，

由△AOC是等边三角形，∠EAB=30°，CF=a，

可得∠CAF=∠ACF=30°，CF=AF=a，DF= ，

AD= ，

利用CG∥AE，可得到△ADF∽△GDC，从而推出AG= a，GC=3a．

故计算出四边形GAFC的周长为5a+ a．

【解析】（1）连接OC，根据切线的性质得到CG⊥OC．根据垂径定理即可得到结论；（2）连接AC，根据平行线的性质得到∠CGB=30°，推出△AOC是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠CAF=∠ACF=30°，CF=AF=a，DF= ，根据相似三角形的性质得到AG= a，GC=3a．于是得到结论．
【考点精析】利用垂径定理和切线的性质定理对题目进行判断即可得到答案，需要熟知垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径．