Question

【题目】如图，CE是⊙O的直径，BD切⊙O于点D，DE∥BO，CE的延长线交BD于点A．

（1）求证：直线BC是⊙O的切线；
（2）若AE=2，tan∠DEO= ，求AO的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD，

∵DE∥BO，

∴∠1=∠4，∠2=∠3，

∵OD=OE，

∴∠3=∠4，

∴∠1=∠2，

在△DOB与△COB中，

，

∴△DOB≌△COB，

∴∠OCB=∠ODB，

∵BD切⊙O于点D，

∴∠ODB=90°，

∴∠OCB=90°，

∴AC⊥BC，

∴直线BC是⊙O的切线

（2）解：∵∠DEO=∠2，

∴tan∠DEO=tan∠2= ，

设；OC=r，BC= r，

由（1）证得△DOB≌△COB，

∴BD=BC= r，

由切割线定理得：AD2=AEAC=2（2+2r），

∴AD=2 ，

∵DE∥BO，

∴ ，

∴ ，

∴r=1，

∴AO=3．

【解析】（1）连接OD，由DE∥BO，得到∠1=∠4，∠2=∠3，通过△DOB≌△COB，得到∠OCB=∠ODB，问题得证；（2）根据三角函数tan∠DEO=tan∠2= ，设；OC=r，BC= r，得到BD=BC= r，由切割线定理得到AD=2 ，再根据平行线分线段成比例得到比例式即可求得结果．