【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1,且抛物线经过A(1,0),C(0,3)两点,与x轴交于点B.
(1)若直线y=mx+n经过B、C两点,求直线BC和抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,求出点M的坐标;
(3)设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点,求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.
【答案】
(1)
解:依题意得: ,
解之得: ,
∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3
∵对称轴为x=﹣1,且抛物线经过A(1,0),
∴把B(﹣3,0)、C(0,3)分别代入直线y=mx+n,
得 ,
解之得: ,
∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3
(2)
解:设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M,则此时MA+MC的值最小.
把x=﹣1代入直线y=x+3得,y=2,
∴M(﹣1,2),
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为(﹣1,2)
(3)
解:设P(﹣1,t),
又∵B(﹣3,0),C(0,3),
∴BC2=18,PB2=(﹣1+3)2+t2=4+t2,PC2=(﹣1)2+(t﹣3)2=t2﹣6t+10,
①若点B为直角顶点,则BC2+PB2=PC2即:18+4+t2=t2﹣6t+10解之得:t=﹣2;
②若点C为直角顶点,则BC2+PC2=PB2即:18+t2﹣6t+10=4+t2解之得:t=4,
③若点P为直角顶点,则PB2+PC2=BC2即:4+t2+t2﹣6t+10=18解之得:t1= ,t2=
;
综上所述P的坐标为(﹣1,﹣2)或(﹣1,4)或(﹣1, ) 或(﹣1,
).
【解析】(1)先把点A,C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b,c的关系式,再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系,再联立得到方程组,解方程组,求出a,b,c的值即可得到抛物线解析式;把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n,解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式;(2)设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M,则此时MA+MC的值最小.把x=﹣1代入直线y=x+3得y的值,即可求出点M坐标;(3)设P(﹣1,t),又因为B(﹣3,0),C(0,3),所以可得BC2=18,PB2=(﹣1+3)2+t2=4+t2 , PC2=(﹣1)2+(t﹣3)2=t2﹣6t+10,再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】世界读书日,新华书店矩形购书优惠活动:①一次性购书不超过100元,不享受打折优惠;②一次性购书超过100元但不超过200元一律八折;③一次性购书200元以上一律打六折.小丽在这次活动中,两次购书总共付款190.4元,第二次购书原价是第一次购书原价的3倍,那么小丽这两次购书原价的总和是_____元.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】定义[p,q]为一次函数y=px+q的特征数.
(1)若特征数是[k-1,k2-1]的一次函数为正比例函数,求k的值;
(2)在平面直角坐标系中,有两点A(-m,0),B(0,-2m),且△OAB的面积为4(O为原点),若一次函数的图象过A,B两点,求该一次函数的特征数.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°,得正方形AB1C1D1 , B1C1交CD于点E,AB= ,则四边形AB1ED的内切圆半径为( )
A.
B.
C.
D.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】为发展校园足球运动,某县城区四校决定联合购买一批足球运动装备,市场调查发现:甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球,已知每套队服比每个足球多50元,两套队服与三个足球的费用相等.经洽谈,甲商场的优惠方案是:每购买10套队服,送1个足球;乙商场的优惠方案是:若购买队服超过80套,则购买足球打八折.
(1)每套队服和每个足球的价格分别是多少?
(2)若城区四校联合购买100套队服和a个足球,请用含a的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所需的费用.
(3)假如你是本次购买任务的负责人,你认为到哪家商场购买比较合算?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,CE是⊙O的直径,BD切⊙O于点D,DE∥BO,CE的延长线交BD于点A.
(1)求证:直线BC是⊙O的切线;
(2)若AE=2,tan∠DEO= ,求AO的长.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图:已知直线 AB、CD 相交于点 O,∠COE=90°
(1)若∠AOC=36°,求∠BOE 的度数;
(2)若∠BOD:∠BOC=1:5,求∠AOE 的度数.
[Failed to download image : http://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/QBM/2018/4/13/1923292236627968/1924724835590144/STEM/dc8ee683cff64dfdb92368e07f9f9b9d.png]
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com