Question

16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，∠A的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点（AF＞BF）．求BE的长．

Answer 1

分析 根据角的平分线的性质可求得CE=EF，然后根据直角三角形的判定定理求得三角形全等，得到AC=AF，由于点F是AB的一个三等分点，设BF=m，则AC=2m，AF=2m，AB=3m，根据勾股定理得到BF=$\sqrt{5}$，AB=3$\sqrt{5}$，通过△BEF∽△ABC，即可得到结论．

解答 解：∵AE是∠BAC的平分线，EC⊥AC，EF⊥AF，
∴CE=EF，
在Rt△ACE与Rt△AFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=EF}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACE≌Rt△AFE（HL），
∴AC=AF，
∵点F是AB的一个三等分点，
设BF=m，则AC=2m，AF=2m，AB=3m，
∴AB²=BC²+AC²，
∴（3m）²=5²+（2m）²，
∴m=$\sqrt{5}$，
∴BF=$\sqrt{5}$，AB=3$\sqrt{5}$
∵∠BFE=∠C=90°，∠B=∠B，
∴△BEF∽△ABC，
∴$\frac{BE}{AB}=\frac{BF}{BC}$，即$\frac{BE}{3\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴BE=3．

点评 本题考查了角平分线的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，根据已知条件表示出线段的值是解本题的关键．