Question

19．如图，在△ABC中，D为直线BC上任意一点，给出以下判断：
①若点D到AB，AC距离相等，且BD=DC，则AB=AC；
②若AD⊥BC且AD²=BD•DC，则∠BAC=90°；
③若AB=AC，则AD²+BD•DC=AC²；
④若∠BAC=90°，且AD⊥BC，则AD²=BD•DC．
其中正确的是①②④（把所有正确结论序号都填在横线上）

Answer 1

分析 ①如图1，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，通过证明Rt△BDE≌Rt△CDF，得到∠B=∠C，即可得到结论；
②由垂直的定义得到∠ADB=∠ADC=90°，由AD²=BD•DC，得到$\frac{AD}{BD}=\frac{CD}{AD}$，证得△ABD∽△ACD，根据相似三角形的性质得到∠BAD=∠C，即可得到结论；
③作AE⊥BC于E，根据勾股定理得到AB²=AE²+BE²，AD²=AE²+DE²，再两式相减即可求解；
④利用等角的余角相等得到∠B=∠DAC，则可判断Rt△ADB∽Rt△CDA，所以AD：CD=BD：AD，然后根据比例的性质即可得到结论．

解答 解：①如图1，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵点D到AB，AC距离相等，
∴DE=DF，
在Rt△BDE与Rt△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC；
②∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵AD²=BD•DC，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{CD}{AD}$，
∴△ABD∽△ACD，
∴∠BAD=∠C，
∵∠B+∠BAD=90°，
∴∠C+∠B=90°，
∴∠BAC=90°；
③如图2，作AE⊥BC于E，则
AB²=AE²+BE²，AD²=AE²+DE²，
则AB²-AD²=（AE²+BE²）-（AE²+DE²）=BE²-DE²=（BE+DE）（BE-DE）=BD•DC，
则AD²+BD•DC=AB²，
∵AB=AC，
∴AD²+BD•DC=AC²；
如图3，作AE⊥BC于E，则
AB²=AE²+BE²，AD²=AE²+DE²，
则AD²-AB²=（AE²+DE²）-（AE²+BE²）=DE²-BE²=（BE+DE）（DE-BE）=BD•DC，
则AD²-BD•DC=AB²，
∵AB=AC，
∴AD²-BD•DC=AC²；故③错误；
④∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵∠BAD=∠DAC=90°，
∴∠B=∠DAC，
∴Rt△ADB∽Rt△CDA，
∴AD：CD=BD：AD，
∴AD²=CD•BD．
故答案为：①②④．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键．