Question

如图所示，AB是⊙0的直径，0E⊥AC于E，OF⊥AD于F，OE=OF，且AB是AC与AD的比例中项，试说明：BC是⊙0的切线．

Answer 1

证明：连结BD，如图，
∵0E⊥AC于E，OF⊥AD于F，OE=OF，
∴∠CAB=∠DAB，
∵AB是AC与AD的比例中项，即AB²=AC•AD，
∴=，
∴△ABD∽△ACB，
∴∠ADB=∠ABC，
∵AB是⊙0的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABC=90°，
∴BC⊥AB，
∴BC是⊙0的切线．
分析：根据角平分线定理得到∠CAB=∠DAB，由于AB²=AC•AD，则=，根据相似三角形的判定方法得到△ABD∽△ACB，所以∠ADB=∠ABC，再根据圆周角定理由AB是⊙0的直径得到∠ADB=90°，则∠ABC=90°，即有BC⊥AB，然后根据切线的判定定理得到结论．
点评：本题考查了切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的性质为圆的切线．也考查了角平分线定理、圆周角定理以及三角形相似的判定与性质．