Question

如图，在Rt△ABC中，AB=BC，D为AC边的中点，过点D作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F．
（1）试判断线段DE与DF是否相等？并说明理由；
（2）若AE=4，FC=3，求线段EF的长．

Answer 1

分析：（1）连接BD，由已知等腰直角三角形ABC，可推出BD⊥AC且BD=CD=AD，∠ABD=45°，再由DE丄DF，可推出∠FDC=∠EDB，又等腰直角三角形ABC可得∠C=45°，所以△EDB≌△FDC，从而得出DE与DF相等；
（2）先由△EDB≌△FDC得出BE=FC=3，那么AB=7，则BC=7，BF=4，然后在Rt△EBF中利用勾股定理即可求出EF的长．

解答：解：（1）DE=DF，理由如下：
如图，连接BD．
∵等腰直角三角形ABC中，D为AC边上中点，
∴BD⊥AC，BD=CD=AD，∠ABD=45°，
∴∠C=45°，
∴∠ABD=∠C．
∵DE丄DF，
∴∠FDC+∠BDF=∠EDB+∠BDF，
∴∠FDC=∠EDB．
在△EDB与△FDC中，
∵

∠EBD=∠C  BD=CD  ∠EDB=∠FDC

，
∴△EDB≌△FDC（ASA），
∴DE=DF；

（2）∵△EDB≌△FDC，
∴BE=FC=3，
∴AB=AE+BE=4+3=7，则BC=AB=7，
∴BF=BC-CF=7-3=4．
在Rt△EBF中，∵∠EBF=90°，
∴EF²=BE²+BF²=3²+4²，
∴EF=5．
故线段EF的长为5．

点评：此题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，难度适中，关键是利用ASA证明三角形全等．