Question

如图，矩形ABCD中，AB=

2

，AD=2．点E是BC边上的一个动点，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F．当△CDF是等腰三角形时，BE的长为

 

．

Answer 1

考点：矩形的性质,等腰三角形的性质,勾股定理

专题：

分析：过点C作CM⊥DF，垂足为点M，判断△CDF是等腰三角形，要分类讨论，①CF=CD；②DF=DC；③FD=FC，根据相似三角形的性质进行求解．

解答：解：①CF=CD时，过点C作CM⊥DF，垂足为点M，
则CM∥AE，DM=MF，（1分）
延长CM交AD于点G，
∴AG=GD=1，
∴CE=1，
∴当BE=1时，△CDF是等腰三角形；

②DF=DC时，则DC=DF=

2

，
∵DF⊥AE，AD=2，
∴∠DAE=45°，（1分）
则BE=

2

，
∴当BE=

2

时，△CDF是等腰三角形；

③FD=FC时，则点F在CD的垂直平分线上，故F为AE中点．
∵AB=

2

，BE=x，
∴AE=

2+x2

，
AF=

2+x2

2

，
∵△ADF∽△EAB，
∴

AD

AE

=

AF

EB

，

2

2+x2

=

2+x2

2 x

，
x²-4x+2=0，
解得：x=2±

2

，
∴当BE=2-

2

时，△CDF是等腰三角形．
综上，当BE=1、

2

、2-

2

时，△CDF是等腰三角形．
故答案为：1、

2

、2-

2

．

点评：此题难度比较大，主要考查矩形的性质、相似三角形的性质及等腰三角形的判定，考查知识点比较多，综合性比较强，另外要注意辅助线的作法．