Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=13cm，BC=16cm，CD=5cm．以AB为直径作圆O，动点P沿AD方向从点A开始向点D以1厘米/秒的速度运动，动点Q沿CB方向从点C开始向点B以2厘米/秒的速度运动，点P、Q分别从A、C两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动。
（1）求⊙O的半径长；
（2）求四边形PQCD的面积y关于P、Q运动时间t的函数表达式，并求出当四边形PQCD为等腰梯形时，四边形PQCD的面积；
（3）是否存在某一时刻t，使直线PQ与⊙O相切？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）过点D作DE⊥BC于E， ∵AB⊥BC， ∴四边形ADEB为矩形， ∴BE=AD=13，EC=3 又∵CD=5， ∴DE==4，即AB=4， ∴⊙O的半径为2cm； （2）当P、Q运动t秒时，AP=t，CQ=2t 则S四边形PQCD=y=（13﹣t+2t）×4， 即y=2t+26（0≤t≤8） 当四边形PQCD为等腰梯形时，过P作PF⊥BC于F（如图一）， 则有QF=CE=3 ∴2t﹣（13﹣t）=6， 则t= 此时四边形PQCD面积y=（cm2）； （3）存在．若PQ与圆相切，设切点为G，（如图二） 作PH⊥BC于H ∵A在⊙O上，∠A=90°， ∴AD切⊙O于A， ∵PQ切⊙O于G， ∴由切线长定理得：PG=PA=t．QG=QB=16﹣2t，QH=QB﹣BH=（16﹣2t）﹣t=16﹣3t PQ=QB+AP=16﹣t 在Rt△PQH中，PQ2=PH2+QH2， 即（16﹣t）2=16+（16﹣3t）2 ∴t2﹣8t+2=0， 解得， ∵0≤t≤8， ∴当时，PQ与圆相切。