Question

【题目】如图1，在正方形中，，为对角线上的一点，连接和．

（1）求证：；

（2）如图2，延长交于点，为上一点，连接交于点，且有．

①判断与的位置关系，并说明理由；

②如图3，取中点，连接、，当四边形为平行四边形时，求的长．

Answer 1

【答案】(1)证明步骤见解析;(2) ①EF⊥AM，理由见解析;②

【解析】

(1)证明△ABM≌△CBM(SAS)即可解题,

(2) ①由全等的性质和等边对等角的性质等量代换得到∠ECF=∠AEF,即可解题,

②过点E作EH⊥CD于H,先证明四边形EBCH是矩形,再由平行四边形的性质得到E,G是AB的三等分点,最后利用斜边中线等于斜边一半即可解题.

解 (1)在四边形ABCD中,AB=BC,∠ABM=∠CBM=45°,BM=BM

∴△ABM≌△CBM(SAS)

∴AM=CM

(2) ①EF⊥AM

由(1)可知∠BAM=∠BCM,

∵CE=EF,

∴∠ECF=∠EFC,

又∵∠EFC=∠AEF,

∴∠ECF=∠AEF,

∴∠AEF+∠BAM=∠BCM+∠ECF=90°,

∴∠ANE=90°,

∴EF⊥AM

②过点E作EH⊥CD于H,

∵EC=EF,

∴H是FC中点(三线合一),∠EHC=90°,

在正方形ABCD中,∠EBC=∠BCH=90°,

∴四边形EBCH是矩形,

∴EB=HC,

∵四边形AECF是平行四边形,G为AE中点,

∴AE=CF,BE=DF

∴CH=HF=DF

同理AG=EG=BE

∵AB=1

∴AE=

由①可知∠ENA=90°,

∴NG=(斜边中线等于斜边一半)