Question

【题目】已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD2+CD2=2AB2．

（1）求证：AB=BC；

（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE=AE+CD．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据勾股定理AB2+BC2=AC2，得出AB2+BC2=2AB2，进而得出AB=BC；

（2）首先证明CDEF是矩形，再根据△BAE≌△CBF，得出AE=BF，进而证明结论．

试题解析：（1）连接AC．

∵∠ABC=90°，

∴AB2+BC2=AC2．

∵CD⊥AD，

∴AD2+CD2=AC2．

∵AD2+CD2=2AB2，

∴AB2+BC2=2AB2，

∴BC2=AB2，

∵AB＞0，BC＞0，

∴AB=BC．

（2）过C作CF⊥BE于F．

∵BE⊥AD，CF⊥BE，CD⊥AD，

∴∠FED=∠CFE=∠D=90°，

∴四边形CDEF是矩形．

∴CD=EF．

∵∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，

∴∠BAE=∠CBF，

∴在△BAE与△CBF中

∴，

∴△BAE≌△CBF．（AAS）

∴AE=BF．

∴BE=BF+EF=AE+CD．