如图.直线AB与x轴.y轴分别交于B.A两点.线段OA.OB的长是关于x的一元二次方程x2-14x+48=0的两个根请解答下列问题:(1)求线段AB的长,(2)点C是直线AB上一点.且3S△OBC=2S△OAC.求直线OC的函数解析式,条件下.点C是线段AB上的点.在直线AB上是否存在点P.使以点O.C.P为顶点的三角形是直角三角形?若存在.请直接写出点P的坐标,若不存在.请说明� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

15．

如图，直线AB与x轴、y轴分别交于B、A两点，线段OA、OB的长是关于x的一元二次方程x²-14x+48=0的两个根（OA＜OB）
请解答下列问题：
（1）求线段AB的长；
（2）点C是直线AB上一点，且3S_△OBC=2S_△OAC，求直线OC的函数解析式；
（3）在（2）条件下，点C是线段AB上的点，在直线AB上是否存在点P，使以点O、C、P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）首先解方程求得OA和OB的长，然后利用勾股定理求得AB的长即可；
（2）根据点A和点B的坐标得出直线AB的解析式，再设出点C的坐标，根据面积等式解答即可；
（3）根据直角三角形得出点P的坐标即可．

解答（1）解：方程x²-14x+48=0变形为：
（x-6）（x-8）=0，
解得：x₁=6，x₂=8，
∵OA＜OB，
∴OA=6，OB=8，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}=10$，
（2）设直线AB的解析式为：y=kx+b，
把B（-8，0），A（0，6）代入解析式中，得：$\left\{\begin{array}{l}{-8k+b=0}\\{b=6}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{3}{4}$，b=6，
所以直线的解析式是y=$\frac{3}{4}$x+6；
所以点C的坐标为（x，$\frac{3}{4}x+6$），
因为3S_△OBC=2S_△OAC，
所以可得S_△OAC=6（±x）×$\frac{1}{2}$=±3x
S_△OBC=8（$\frac{3}{4}x+6$）•$\frac{1}{2}$=±（3x+24）
当S_△OBC=2S_△OAC时，x=$\frac{24}{5}$或x=-24
∴L_OC：y₁=-$\frac{1}{2}$x，
可得解析式为：y₂=$\frac{1}{2}$x；
（3）当点C的坐标为（-24，-12）时，使点O、C、P为顶点的三角形是直角三角形，
则可得点P的坐标为（$\frac{24}{5}，\frac{48}{5}$）；
当点C的坐标为（$\frac{24}{5}，\frac{48}{5}$）时，使点O、C、P为顶点的三角形是直角三角形，
则可得点P的坐标为（$-\frac{72}{15}，\frac{32}{5}$）．
综上所述，点P的坐标为（$\frac{24}{5}，\frac{48}{5}$）（$-\frac{72}{15}，\frac{32}{5}$）．

点评本题考查了一次函数的综合知识，题目中进行了点的坐标和三角形的面积的转化，这是解决本题的关键，难度中等偏上．

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A．

a＞5或a＜-2

B．

-2≤a≤5

C．

-2＜a＜5

D．

a≥5或a≤-2

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6．

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