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【题目】如图①,在等边三角形ABC中.D是AB边上的动点,以CD为一边,向上作等边三角形EDC.连接AE.

(1)求证:△DBC≌△EAC
(2)试说明AE∥BC的理由.
(3)如图②,当图①中动点D运动到边BA的延长线上时,所作仍为等边三角形,猜想是否仍有AE∥BC?若成立请证明.

【答案】
(1)解:∵∠ACB=60 , ∠DCE=60
∴∠BCD=60 -∠ACD, ∠ACE=60 -∠ACD,
即∠BCD=∠ACE,
在△DBC和△EAC中,

∴△DBC≌△EAC(SAS)
(2)解:∵△DBC≌△EAC,
∴∠EAC=∠B=60
又∵∠ACB=60
∴∠EAC=∠ACB,
∴AE∥BC
(3)解:仍有AE∥BC,
∵△ABC,△EDC都为等边三角形,
∴BC=AC, DC=CE, ∠BCA=∠DCE=60
∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD,
即∠BCD=∠ACE,
在△DBC和△EAC中,

∴△DBC和△EAC(SAS),
∴∠EAC=∠B=60
又∵∠ACB=60
∴∠EAC=∠ACB,
∴AE∥BC.
【解析】(1)根据已知条件△ABC和△EDC都是等边三角形,根据等边三角形的性质,得出边和角等于相等,再证明∠BCD=∠ACE,然后利用SAS证明△DBC≌△EAC即可。
(2)根据△DBC≌△EAC得出∠EAC=∠B=60 ° ,再利用等量代换证明∠EAC=∠ACB,然后根据平行线的判定即可证得结论。
(3)仍有AE∥BC,根据△ABC,△EDC都为等边三角形,得出BC=AC, DC=CE, ∠BCA=∠DCE,再证明∠BCD=∠ACE,就可证明△DBC和△EAC,然后再证明∠EAC=∠ACB,即可证得AE∥BC。

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