Question

证明：当AB是三个圆的公共弦，过A的不同于AB的任意一条直线确定相同的比XY：YZ，这里X是在第一个圆上不同于B的任意一点，而Y与Z是AX交其它两个圆的交点（使Y标记在X与Z之间）．

Answer 1

分析：设l是一条过A但不同于AB的直线，连接BA，BX，BY，BZ，由于∠AXB，∠AYB，∠AZB一直对弦AB，与l的选择无关．再根据△BXY的各角与△BXZ的各角大小都不变，故XY：YZ是常数．

解答：解：证法1：设l是一条过A但不同于AB的直线，连接BA，BX，BY，BZ．如图1，
应为∠AXB，∠AYB，∠AZB一直对弦AB，与l的选择无关．
由此推得对所有这样的l，在△BXY的各角与△BXZ的各角大小都不变．于是由相似三角形，知比XY：YZ仍然是常数．注意到它的成立与X，Y，Z与A的位置无关．假设X，Y，Z都位于A的同侧（象在这个图形中），∠AXB=α，∠AYB=β，∠AZB=γ．则∠BXY=180°-α，∠BYX=β，∠BYZ=180°-β，∠BZY=γ．
现在假设l的选择使X与Y、Z在A的相对的一侧．现在因为X在弦AB的另一侧，∠AXB=180°-α，但它一直是这种情形，∠BXY=180°-α和所有在这两个相关的三角形中的其它的角仍然是不变的．
若l的选择使X与A是同一点，则l是第一个圆的切线且这一直是这种情形，∠BXY=180°-α．所有其它情形都可用相似的方法证明．也说是说，各种情形中△BXY与△BXZ的组合图形的形状总是与图1中的一样．从而原命题成立．
证法2：设m是AB的垂直平分线，设这三个圆的圆心分别是O₁，O₂，O₃．因为AB是所有这三个圆的公共弦，所以O₁，O₂，O₃都位于m上．设l是过A且不同于AB的一条直线，假设X，Y，Z都位于AB的同一侧，如图2．设过O₁，O₂，O₃分别作l的垂线，垂足分别为P，Q，R．由垂径定理，得AX=2AP，AY=2AQ，AZ=2AR．
现在XY=AY-AX=2（AQ-AP）=2PQ．类似地，YZ=2QR．
因此XY：YZ=PQ：QR．又O₁P∥O₂Q∥O₃R，故PQ：QR=O₁O₂：O₂O₃．因为这些圆心是确定的，比XY：YZ=O₁O₂：O₂O₃是一个常数，不随l的选择而变化．
若X，Y，Z不都位于AB的同一侧，我们可用类似的证明得到相同的结果．事实上，若X与Y在AB相对的一侧，则我们将有XY=AY+AX，但因为在PQ=AQ+AP这种情形里，一直有XY=2PQ这种情形．其它结论也可与此类似证得．

点评：本题考查的是垂径定理，解答此题的关键是要抓住在同圆或等圆中，只要圆的弦不变，那么这条弦所对的圆周角永远不变即可解答．