Question

已知：如图，AD是半圆O的直径，AB、CD与半圆O切于点A、D，E为半圆O上一点，过点E的直线交AB于点B，交CD交点C，且CD=CE．
（1）求证：CB是半圆O的切线；
（2）如果AB=4，CD=9，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）因为点E在圆上，所以只要连接OE并说明OE垂直于BC就可以，而CD也与半圆相切，所以只要求∠COE等于∠D就能说明问题了；
（2）过B作BF⊥CD于D，得到直角三角形，利用勾股定理求出半径，再用梯形的面积减去半圆的面积就是阴影的面积．

解答：证明：（1）连接OE、DE，如图；
∵CD=CE，
∴∠CDE=∠CED．
∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED．
∴∠CDE+∠ODE=∠CED+∠OED．
∴∠CDO=∠CEO．
∵CD是半圆O的切线，AD是半圆O的直径，
∴CD⊥AD．
∴∠CEO=∠CDO=90°．
∴CB是半圆O的切线．（3分）

（2）过点B作BF⊥CD于F，如图；
∵BA是半圆O的切线，AD是半圆O的直径，
∴BA⊥AD．
∵CD⊥AD，
∴四边形ABFD是矩形．
∴BF=AD，FD=BA=4．
∴CF=CD-CF=9-4=5．
∵CB、BA和CD都是半圆O的切线，
∴CE=CD=9，BE=BA=4．
∴CB=CE+EB=13．
在Rt△CFB中，由勾股定理，得BF=

CB2-CF2

=

132-52

=12，
∴AD=12．（5分）
∵S_半圆=

1

2

π6²=18π，S_梯形ABCD=

1

2

（4+9）•12=78．
∴S_阴影=S_梯形ABCD-S_半圆=78-18π．

点评：解答此题关键在于作辅助线，作出辅助线构造出直角三角形，问题也就不难解决了．