Question

4．如图，点M、N分别在正多边形相邻的两边上，且BM=CN，AM交BN于点P．如图1，在等边三角形ABC中，∠APN=60°，如图2，在正方形ABCD中，∠APN=90°，如图3，在正五边形ABCDE中，∠APN=108°，依次规律，在正八边形中，∠APN=135°．

Answer 1

分析 根据图中已知得出，△ABM≌△BCN（SAS），进而结合图形，找出规律，找到每种图形中∠APN与其内角的关系．

解答 解：∵等边三角形ABC中，
∴∠BAN=∠C=60°，
在△ABM和△BCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABM=∠C}\\{BM=CN}\end{array}\right.$
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠ABN+∠CBN=60°，
∴∠ABN+∠BAM=∠APN=60°，
在已知几个图中，都有∴△ABM≌△BCN，都有∠APN=∠C，
所以∠APN都是等于这个多边形内角的度数；
已知五边形内角为108°，
所以在正五边形中，
∠APN=108°．
已知八边形内角为135°，
所以在正八边形中，
∠APN=135°．
故答案为：60，108，135．

点评 此题主要考查了正多边形和圆，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．