Question

如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别为AB、BC、CD边上的点，EB=3cm，GC=4cm，连接EF、FG、GE恰好构成一个等边三角形，则正方形的边长为

 

cm．

Answer 1

考点：正方形的性质,等边三角形的性质,勾股定理

专题：

分析：过G作GM⊥AB于M，设BF=x，CF=y，利用勾股定理得出在Rt△GEM中，EG²=1+（x+y）²，在Rt△GCFM中，GF²=16+y²在Rt△EBF中，EF²=9+x²；进一步联立得出方程，求得方程的解即可解决问题．

解答：解：如图，

过G作GM⊥AB于M，设BF=x，CF=y，
则ME=CG-BE=1，
在Rt△GEM中，EG²=1+（x+y）²，
在Rt△GCFM中，GF²=16+y²
在Rt△EBF中，EF²=9+x²
∵等边△EFG中EF=EG=GF，
∴9+x²=16+y²，即x²-y²=7     （1）
1+（x+y）²=9+x²，即y²+2xy=8   （2）
（1）×8-（2）×7后整理得，8x²-14xy-15y²=0，
两边同除以y²得8（

x

y

）²+14（

x

y

）-15=0，
设a=

x

y

，则有8a²-14a-15=0
（2a-5）（4a+3）=0，解之得a=

5

2

或a=-

3

4

（舍去）
所以x=

5

2

y，代入（1）得，

21

4

y²=7，
y=

2 3

3

cm．
所以x=

5

2

y=

5 3

3

，
所以正方形边长=x+y=

7 3

3

cm．
故答案为：

7 3

3

．

点评：此题考查正方形的性质，勾股定理，以及利用方程的思想解决有关图形的计算问题．