Question

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）经过原点O和B（4，4），且对称轴为直线x=

3

2

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线上是否存在点M，使△MOB中OB边上的高为2

2

？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，设抛物线与x轴的另一交点为A，点N在抛物线上，满足∠NBO=∠ABO，若D是直线OB下方的抛物线上且到OB的距离最大的点，试求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．

Answer 1

考点：二次函数综合题,待定系数法求一次函数解析式,待定系数法求二次函数解析式,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,三角形中位线定理,相似三角形的判定与性质

专题：压轴题

分析：（1）根据条件运用待定系数法就可求出抛物线的解析式．
（2）根据条件可求出△MOB的面积，然后分点M在直线OB上方和下方两种情况讨论，设点M坐标为（x，y），根据△MOB的面积的两种表示建立方程，就可解决问题．
（3）易知点D与（2）中直线OB下方的点M重合，过点D作DG⊥x轴，垂足为G，可以求出OD和∠DOA的值．设NB与y轴交于点A′，易证△A′OB≌△AOB，则有OA′=OA，可以求出直线BN的解析式，再求出直线BN与抛物线的交点坐标，就可得到点N的坐标，取ON的中点P′，取OB的中点D′，连接D′P′，易得点P′的坐标，并可证到△P′OD′≌△POD，只需分点P在直线OD上方和下方两种情况讨论，就可解决问题．

解答：解：（1）如图1①，

设抛物线的解析式为y=ax²+bx，
由题可得

16a+4b=4 - b 2a = 3 2

．
解得：

a=1 b=-3

．
故抛物线的解析式为y=x²-3x．

（2）①若点M在直线OB的下方，
过点B作BH⊥x轴，垂足为H，过点B作BE⊥y轴，垂足为E，如图1②，
则有OH=BH=4．
∴OB=4

2

，∠HOB=∠OBH=45°．

由x²-3x=0得x₁=0，x₂=3，则点A（3，0）．
设点A到OB的距离为d，
则d=

OA•BH

OB

=

3×4

4 2

=

3 2

2

＜2

2

．
∴点M在第四象限．
设点M的坐标为（x，y），x＞0，y＜0．
过点M作MF⊥y轴，垂足为F，
则有FM=x，OF=-y．
∵点M到OB的距离为2

2

，
∴S_△MOB=

1

2

×4

2

×2

2

=8．
∴S_△MOB=S_梯形BEFM-S_△BEO-S_△OFM
=

1

2

×（4+x）（4-y）-

1

2

×4×4-

1

2

x•（-y）
=2x-2y=8．
∴y=x-4．
∵点M在抛物线上，
∴x²-3x=x-4．
解得：x₁=x₂=2．
∴y=2-4=-2．
∴点M的坐标为（2，-2）．
②若点M在直线OB的上方，
同理可得：点M的坐标为（2+2

2

，6+2

2

）或（2-2

2

，6-2

2

）．
综上所述：满足条件的点M坐标为（2，-2）或（2+2

2

，6+2

2

）或（2-2

2

，6-2

2

）．

（3）由（2）①可知：在直线OB下方抛物线上的点中，到OB的距离等于2

2

的点有且只有一个点M（2，-2），
因而点M（2，-2）到OB的距离最大（否则有两个点到OB的距离等于2

2

），故点D与点M（2，-2）重合，
所以点D的坐标为（2，-2）．
过点D作DG⊥x轴，垂足为G，如图2①，

则有OG=DG=2．
∴OD=2

2

，∠DOG=∠ODG=45°．
设BN与y轴交于点A′，
∵∠A′OB=90°-∠AOB=45°，
∴∠A′OB=∠AOB．
在△A′OB和△AOB中，

∠A′OB=∠AOB OB=OB ∠A′BO=∠ABO

．
∴△A′OB≌△AOB（ASA）．
∴OA′=OA．
∵OA=3，∴OA′=3．
∴A′（0，3）．
可设直线BN的解析式为y=mx+3．
∴4m+3=4．
解得；m=

1

4

．
∴直线BN的解析式为y=

1

4

x+3．
联立

y= 1 4 x+3 y=x2-3x

．
解得：

x=- 3 4 y= 45 16

或

x=4 y=4

．
∴点N的坐标为（-

3

4

，

45

16

）．
取OB的中点D′，取ON的中点P′，连接D′P′，如图2②，

则有点P′的坐标为（-

3

8

，

45

32

）．
∵点P′为ON的中点，点D′为OB的中点，
∴P′D′∥BN．
∴△P′OD′∽△NOB．
∵△POD∽△NOB．
∴△P′OD′∽△POD．
∵点D′为OB的中点，
∴OD′=

1

2

OB=2

2

=OD．
∴△P′OD′≌△POD．
①若点P在直线OD的上方，过点P′作P′S⊥x轴，垂足为S，过点P作PT⊥x轴，垂足为T，如图2③，

则有SO=

3

8

，P′S=

45

32

．
∵△P′OD′≌△POD，
∴∠P′OD′=∠POD．
∴∠P′OP=∠BOD=45°+45°=90°．
∴∠P′OS=90°-∠POT=∠OPT．
在△P′SO和△OTP中，

∠P′OS=∠OPT ∠P′SO=∠OTP OP′=OP

．
∴△P′SO≌△OTP（AAS）．
∴P′S=OT，SO=TP．
∴OT=

45

32

，PT=

3

8

．
∴点P的坐标为（

45

32

，

3

8

）．
②若点P在直线OD的下方，如图2④，

∵△P′OD′≌△POD，
∴OP′=OP，∠P′OD′=∠POD．
∵∠D′OA=∠DOA=45°，
∴∠P′OR=∠POR．
∴点P′与点P关于x轴对称．
∴点P的坐标为（-

3

8

，-

45

32

）．
∴满足条件的点P的坐标为（

45

32

，

3

8

）或（-

3

8

，-

45

32

）．

点评：本题考查了用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、直线与抛物线的交点、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，另外还注重对运算能力和分类讨论思想的考查，综合性非常强，有较强的区分度．