Question

如图，直线y=2x-6与反比例函数的图象交于点A（4，2），与x轴交于点B．
（1）求k的值及点B的坐标；
（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC为等腰三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵直线y=2x-6与反比例函数的图象交于点A（4，2），
∴xy=k=2×4=8，
∴k=8，
当y=0时，0=2x-6，
解得x=3，
∴B点坐标为：B（3，0）；

（2）∵A（4，2），B（3，0），
∴AB=，
当AB=BC₁=时，
∴OC₁=3-，
∴C₁坐标为：（3-，0）；
当AB=BC₂=时，
∴OC₂=5，
∴C₂坐标为：（5，0）；
当AB=BC₃=时，
∴OC₃=3+，
∴C₃坐标为：（3+，0）；
当C点在AB的垂直平分线上时，
则AC=BC，
过点A作AE⊥x轴于点E，
∴AE=2，BE=4-3=1，
则EC=AC-BE=AC-1，
在Rt△BEC中
AE²+EC²=AC²，
∴2²+（AC-1）²=AC²，
解得：AC=2.5，
∴BC=2.5，
∴C点坐标为：（5.5，0），
综上所述：C点的坐标为．
分析：（1）根据图象上点的坐标性质直接得出xy=k求出即可，再利用图象与x轴交点坐标求法得出B点坐标即可；
（2）分别根据当AB=BC₁=时，当AB=BC₂=时，当AB=BC₃=时，当C点在AB的垂直平分线上时，则AC=BC，求出即可．
点评：此题主要考查了一次函数与反比例函数综合题以及等腰三角形的性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键．