Question

已知，如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC于F．
（1）若∠BEC=75°，FC=3，求梯形ABCD的周长．
（2）求证：ED=BE+FC．

Answer 1

解：（1）∵∠BEC=75°，∠ABC=90°，
∴∠ECB=15°，
∵∠ECD=45°，
∴∠DCF=60°，
在Rt△DFC中：∠DCF=60°，FC=3，
∴DF=3，DC=6，
由题得，四边形ABFD是矩形，
∴AB=DF=3，
∵AB=BC，
∴BC=3，
∴BF=BC-FC=3-3，
∴AD=BF=3-3，
∴C_梯形ABCD=3×2+6+3-3=9+3，
答：梯形ABCD的周长是9+3．

（2）证明：延长EB至G，使BG=CF，连接CG，
∵∠CBG=∠DFC=90°，BC=FD，
∴△BCG≌△FDC，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠DCF=90°，
∴∠2+∠DCF=90°，
∵∠DCE=45°，
∴∠ECG=45°，
∴∠DCE=∠ECG，
∴△DEC≌△EGC，
∴ED=EG，
∴ED=BE+FC．
分析：（1）求出∠ECB=15°，∠DCF=60°，求出DF=3，DC=6，推出AB=DF=3，BC=3，求出AD=BF=3-3即可；
（2）过点C作CM垂直AD的延长线于M，再延长DM到N，使MN=BE后证明△DEC≌△DNC，得到ED=EN，即可推出答案．
点评：本题主要考查对直角梯形的性质，全等三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．