Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC垂足分别为E，F．求证：四边形DEAF是正方形．

Answer 1

证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠AED=90°，∠AFD=90°
∵∠BAC=90°
∴∠EDF=90°
∴□AEDF是矩形
在△BDE和△CDF中
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠DEB=∠DFC
又∵D是BC的中点
∴BD=DC
∴△BDE≌△CDF
∴DE=DF
∴□AEDF是正方形
分析：由题意先证明□AEDF是矩形，再根据两角及其一角的对边对应相等来证△BDE≌△CDF，根据有一组对边相等的矩形证明□AEDF是正方形．
点评：本题考查的是正方形的判定方法，考查了矩形、全等三角形等基础知识的灵活运用，判别一个四边形是正方形主要是根据正方形的定义及其性质．