Question

如图，△OA₁B₁，△B₁A₂B₂是等边三角形，点A₁，A₂在函数y=

1

3 x

的图象上，点B₁，B₂在x轴的正半轴上，分别求△OA₁B₁，△B₁A₂B₂的面积．

Answer 1

分析：分别过A₁、A₂作x轴的垂线，垂足分别为D、E，设OD=m，B₁E=n（m＞0，n＞0）．根据等边三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系得到A₁D=

3

OD=

3

m，A₂E=

3

B₁E=

3

n，OE=2m+n，得到A₁的坐标为（m，

3

m），A₂的坐标为（2m+n，

3

n），然后先把A₁的坐标代入反比例解析式求得m的值，再把A₂的坐标代入反比例解析式得到n的值，这样就确定两等边三角形的边长，然后根据等边三角形的面积等于其边长的平方的

3

4

倍计算即可．

解答：解：分别过A₁、A₂作x轴的垂线，垂足分别为D、E，如图，
设OD=m，B₁E=n（m＞0，n＞0）．
∵△OA₁B₁，△B₁A₂B₂是等边三角形，
∴∠OA₁D=∠B₁A₂E=30°，
∴A₁D=

3

OD=

3

m，A₂E=

3

B₁E=

3

n，OE=2m+n，
∴A₁的坐标为（m，

3

m），A₂的坐标为（2m+n，

3

n），
又∵点A₁在函数y=

1

3 x

的图象上，
∴

3

m=

1

3 m

，解得m=

3

3

（m=-

3

3

舍去），
∴OB₁=2m=

2 3

3

，OE=

2 3

3

+n．
∵点A₂在函数y=

1

3 x

的图象上，
∴

3

n•（

2 3

3

+n）=

1

3

，解得n₁=

- 3 + 6

3

，n₂=

- 3 - 6

3

（舍去），
∴n=

- 3 + 6

3

，
∴B₁B₂=2n=

2( 6 - 3 )

3

，
∴△OA₁B₁的面积=

3

4

OB₁²=

3

4

×（

2 3

3

）²=

3

3

，
△B₁A₂B₂的面积=

3

4

B₁B₂²=

3

4

×[

2( 6 - 3 )

3

]²=

3 3 -2 6

3

．

点评：本题考查了点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足其解析式．也考查了含30度的直角三角形三边的关系以及等边三角形的性质．