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【题目】如图,已知等腰直角△ABC,点P是斜边BC上一点(不与B,C重合),PE是△ABP的外接圆⊙O的直径

(1)求证:△APE是等腰直角三角形;
(2)若⊙O的直径为2,求 的值

【答案】
(1)

证明:∵△ABC是等腰直角三角形,

∴∠C=∠ABC=45°,

∴∠PEA=∠ABC=45°

又∵PE是⊙O的直径,

∴∠PAE=90°,

∴∠PEA=∠APE=45°,

∴ △APE是等腰直角三角形.


(2)

解:∵△ABC是等腰直角三角形,

∴AC=AB,

同理AP=AE,

又∵∠CAB=∠PAE=90°,

∴∠CAP=∠BAE,

∴△CPA≌△BAE,

∴CP=BE,

在Rt△BPE中,∠PBE=90°,PE=2,

∴PB2+BE2=PE2,

∴CP2+PB2=PE2=4.


【解析】(1)根据等腰直角三角形性质得出∠C=∠ABC=∠PEA=45°,再由PE是⊙O的直径,得出∠PAE=90°,∠PEA=∠APE=45°,从而得证.
(2)根据题意可知,AC=AB,AP=AE,再证△CPA≌△BAE,得出CP=BE,依勾股定理即可得证.

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【题目】已知直线CD⊥AB于点O,∠EOF=90°,射线OP平分∠COF.

(1)如图1,∠EOF在直线CD的右侧:

①若∠COE=30°,求∠BOF和∠POE的度数;

②请判断∠POE与∠BOP之间存在怎样的数量关系?并说明理由.

(2)如图2,∠EOF在直线CD的左侧,且点E在点F的下方:

①请直接写出∠POE与∠BOP之间的数量关系;

②请直接写出∠POE与∠DOP之间的数量关系.

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【题目】如图①,已知直线l1l2,且l3l1l2分别相交于AB两点,l4l1l2分别交于CD两点,∠ACP1BDP2CPD3

P在线段AB

(1)若∠122°233°,则∠3________

(2)试找出∠123之间的等量关系,并说明理由;

(3)应用(2)中的结论解答下列问题

如图②AB处北偏东40°的方向上,在C处的北偏西45°的方向上,求∠BAC的度数;

(4)如果点P在直线l3上且在AB两点外侧运动时,其他条件不变,试探究∠123之间的关系(PAB两点不重合),直接写出结论即可.

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【题目】如图,有以下3句话:①AB∥CD,②∠B=∠C、③∠E=∠F、请以其中2句话为条件,第三句话为结论构造命题.

(1)你构造的是哪几个命题?

(2)你构造的命题是真命题还是假命题?请加以证明.

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【题目】在平面直角坐标系中,借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根,比如对于方程 ,操作步骤是:
第一步:根据方程系数特征,确定一对固定点A(0,1),B(5,2);
第二步:在坐标平面中移动一个直角三角板,使一条直角边恒过点A,另一条直角边恒过点B;
第三步:在移动过程中,当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时,点C 的横坐标m即为该方程的一个实数根(如图1)
第四步:调整三角板直角顶点的位置,当它落在x轴上另一点D处时,点D 的横坐标为n即为该方程的另一个实数根。

(1)在图2 中,按照“第四步“的操作方法作出点D(请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹)
(2)结合图1,请证明“第三步”操作得到的m就是方程 的一个实数根;
(3)上述操作的关键是确定两个固定点的位置,若要以此方法找到一元二次方程 的实数根,请你直接写出一对固定点的坐标;
(4)实际上,(3)中的固定点有无数对,一般地,当 与a,b,c之间满足怎样的关系时,点P( ),Q( )就是符合要求的一对固定点?

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【题目】在一次中学生田径运动会上,根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩(单位:m),绘制出如下两幅统计图.请根据相关信息,解答下列问题:

(1)扇形统计图中a= , 初赛成绩为1.70m所在扇形图形的圆心角为°;
(2)补全条形统计图;
(3)这组初赛成绩的众数是 m,中位数是 m;
(4)根据这组初赛成绩确定8人进入复赛,那么初赛成绩为1.60m的运动员杨强能否进入复赛?为什么?

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(2)设线段AB长为x,则BC__ __AD__ __(用含x的代数式表示)

(3)AB12 cm,求线段CD的长.

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(2)如图2,若AC=AD,求证:EF=FB;

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