Question

18．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a＜0，c＞0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其对称轴l为x=-1，直线y=kx+m经过A，C两点，与抛物线的对称轴l交于点D，且AD=2CD，连接BC，BD．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求证：a=-k；
（3）若△BCD是直角三角形，求抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）设对称轴x与x轴交点为E，由平行线分线段成比例可求得AE的长，则可求得A点坐标，再利用抛物线的对称性可求得B点坐标；
（2）把A、B两点的坐标代入抛物线解析式，可用a表示出C点的坐标，再由直线AC的解析式可用k表示出C点坐标，则可得到a和k的关系；
（3）用k可表示出C、D的坐标，利用勾股定理可表示出BC²、BD²和CD²，分∠BDC=90°和∠BCD=90°两种情况可分别求得k的值，可求得k的值，可求得a的值，则可求出抛物线的解析式．

解答 解：
（1）如图，设对称轴l与x轴的交点为E，
∵l∥y轴，
∴$\frac{AE}{BO}$=$\frac{AD}{DC}$，且AD=2DC，
∴AE=2EO，
∵对称轴l为x=1，
∴E（-1，0），则EO=1，
∴AE=2，则OA=3，
∴A（-3，0），
∵A、B关于对称轴l对称，
∴BE=AE=2，则OB=1，
∴B（1，0）；

（2）证明：∵抛物线经过A（-3，0）和B（1，0），
∴抛物线解析式为y=a（x+3）（x-1），即y=ax²+2ax-3a，
∵抛物线与y轴交于点C，
∴C（0，-3a），
∵直线y=kx+m经过A、C两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=3k}\\{0=-3k+m}\end{array}\right.$，解得m=3k，
∴C（0，3k），
∴-3a=3k，即a=-k；

（3）由（1）、（2）可知B（1，0），C（0，3k），D（-1，2k），
∴BC²=1+9k²，BD²=4+4k²，CD²=1+k²，
∵在Rt△BCO中，∠CBD＜∠CBO＜90°，
∴∠CBD为锐角，
∴只可能当∠BCD或∠BDC为直角时，△BCD才是直角三角形，
①当∠BCD为直角时，则有BC²+CD²=BD²，
∴1+9k²+1+k²=4+4k²，即k²=$\frac{1}{3}$，
∵k＞0，
∴k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴a=-k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$；
②当∠BDC为直角时，则有BD²+CD²=BC²，
∴4+4k²+1+k²=1+9k²，即k²=1，
∵k＞0，
∴k=1，
∴a=-k=-1，
∴抛物线解析式为y=-x²-2x+3；
综上可知抛物线解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$或y=-x²-2x+3．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及平行线分线段成比例、待定系数法、勾股定理、二次函数的性质及分类讨论思想等知识．在（1）中利用平行线分线段成比例求得AE的长是解题的关键，在（2）中分别用a和k表示出C点的坐标是解题的关键，在（3）中由勾股定理求得k的值是解题的关键，注意分两种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．