Question

在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+m经过点A（2，0），交y轴于点B，点D为x轴上一点，且S_△ADB=1。
（1）求m的值；
（2）求线段OD的长；
（3）当点E在直线AB上（点E与点B不重合），且∠BDO=∠EDA，求点E的坐标。

 
（备用图）

Answer 1

解：（1 ）∵直线y=-x+m 经过点A （2 ，0 ），
∴0=-2+m ，
∴m=2 ；
（2 ）∵直线y=-x+2 交y 轴于点B ，
∴点B 的坐标为（0 ，2 ），
∴OB=2 ，
∵S _△ADB=AD·OB=1 ，
∴AD=1 ，
∵点A 的坐标为（2 ，0 ），
∴点D 的坐标为（1 ，0 ）或（3 ，0 ），
∴OD=1 或OD=3 ；
（3 ）①当点D 的坐标为（1 ，0 ）时，如图所示，
取点B ′（0 ，-2 ），连接B ′D 并延长，交直线BA 于点E ．
∵OB=OB ′，AO ⊥BB ′于O ，
∴OD 为BB ′的垂直平分线．
∴DB=DB ′，
∴∠1= ∠2 ．
又∵∠2= ∠3 ，
∴∠1= ∠3 ，
设直线B ′D 的解析式为y=kx-2 （k ≠0 ），
∵直线B ′D 经过点D （1 ，0 ），
∴0=k-2 ， ∴k=2 ，
∴直线B ′D 的解析式为y=2x-2 ，
联立得，
解得，
∴点E 的坐标为（，）；

②当点D 的坐标为（3 ，0 ）时，如图所示，
取点B ′（0 ，-2 ），连接B ′D ，交直线BA 于点E ，
同①的方法，可得∠1= ∠2 ，
直线B ′D 的解析式为y=x-2 ，
联立得 ，
解得  ，
∴点E 的坐标为（ ，- ），
综上所述，点E 的坐标为（ ， ）或（，-）。