Question

20．在△ABC中，BC=AC，∠BCA=90°，P为直线AC上一点，过点A作AD⊥BP于点D，交直线BC于点Q．

（1）如图1，当P在线段AC上时，求证：BP=AQ；
（2）如图2，当P在线段CA的延长线上时，（1）中的结论是否成立？成立（填“成立”或“不成立”）
（3）在（2）的条件下，当∠DBA=22.5°度时，存在AQ=2BD，说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先根据内角和定理得出∠DAP=∠CBP，进而得出△ACQ≌△BCP即可得出答案；
（2）延长BA交PQ于H，由于∠ACQ=∠BDQ=90°，∠AQC=∠BQD，得到∠CAQ=∠DBQ，推出△AQC≌△BPC（ASA）即可得出结论；
（3）当∠DBA=22.5°时，存在AQ=2BD，根据等腰三角形的性质得到BP=2BD，通过△PBC≌△ACQ，根据全等三角形的性质即可得到结论．

解答 （1）证明：∵∠ACB=∠ADB=90°，∠APD=∠BPC，
∴∠DAP=∠CBP，
在△ACQ和△BCP中$\left\{\begin{array}{l}{∠QCA=∠P∠CB}\\{CA=CB}\\{∠CAQ=∠CBP}\end{array}\right.$
∴△ACQ≌△BCP（ASA），
∴BP=AQ；

（2）成立，
理由：延长BA交PQ于H，
∵∠ACQ=∠BDQ=90°，∠AQC=∠BQD，
∴∠CAQ=∠DBQ，
在△AQC和△BPC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACQ=∠BCP}\\{CA=CB}\\{∠CAQ=∠BCP}\end{array}\right.$
∴△AQC≌△BPC（ASA），
∴AQ=BP，
故答案为：成立；
（3）当∠DBA=22.5°时，存在AQ=2BD，
理由：∵∠BAC=∠DBA+∠APB=45°，
∴∠PBA=∠APB=22.5°，
∴AP=AB，
∵AD⊥BP，
∴BP=2BD，
在△PBC与△QAC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BPC=∠AQC}\\{BC=AC}\\{∠PCB=∠ACQ}\end{array}\right.$，
∴△PBC≌△ACQ，
∴AQ=PB，
∴AQ=2BD．
故答案为：22.5°

点评 此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形性质和三角形内角和定理等知识，根据题意得出全等三角形是解题关键．