Question

15．如图，在△ABC中，AQ平分∠BAC，QD⊥BC交BC于点D，在BC上取一点E，使得∠BAD=∠CAE，在AE上存在一点K，使得∠KBC=2∠BQD，求证：QK平分∠BKC．

Answer 1

分析 先利用角平分线的性质定理得，$\frac{AB}{AC}=\frac{BG}{CG}$①，再判断出BI⊥BQ，即可得出，$\frac{QM}{MB}=\frac{{S}_{△AQM}}{{S}_{△ABM}}=\frac{AQsinβ}{ABsinα}$②，$\frac{CN}{NQ}=\frac{{S}_{△ACN}}{{S}_{△AQN}}=\frac{ACsinα}{AQsinβ}$③，联立①②③即可得出BN，CM，AQ交于一点F，再由塞瓦定理的逆定理得，CY=$\frac{XB•AC•YA}{AX•AB}$④，再利用面积得出$\frac{sinα}{sin（α+2β）}=\frac{XB•AC}{BN•YA}$⑤，$\frac{sinα}{sin（α+2β）}=\frac{YN•AB}{BN•YA}$⑥，联立④⑤⑥即可得出$\frac{BC}{CY}=\frac{BN}{YN}$，即可得出结论．

解答 证明：如图，
作∠CBK的角平分线交QK于I，延长AD，AE交BQ，CQ于M，N，连接CM交AB的延长线于X，连接BN交AC的延长线于Y，BN，CM交于F，AQ交BC于G，设∠BAM=∠CAN=α，∠MAQ=∠NAQ=β，
∵AQ平分∠BAC，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BG}{CG}$①，
∵∠KBC=∠2∠BQD=2∠CBI，
∵QD⊥BC，
∴∠DBQ+∠BQD=90°=∠DBQ+∠CBI，
∴BI⊥BQ，
由同角的内、外角平分线互相垂直，得：BQ平分∠XBC，
∴$\frac{XB}{BC}=\frac{XM}{MC}$，
∵$\frac{QM}{MB}=\frac{{S}_{△AQM}}{{S}_{△ABM}}=\frac{AQsinβ}{ABsinα}$②，$\frac{CN}{NQ}=\frac{{S}_{△ACN}}{{S}_{△AQN}}=\frac{ACsinα}{AQsinβ}$③，
由①②③得，$\frac{QM}{MB}•\frac{BG}{GC}•\frac{CN}{NQ}$=1，
由塞瓦定理的逆定理得，BN，CM，AQ交于一点F，
点F对于△ABC，由塞瓦定理（延长线）得，$\frac{AX}{XB}•\frac{BG}{GC}•\frac{CY}{YA}$=1，
∴$\frac{AX}{XB}•\frac{AB}{AC}•\frac{CY}{YA}=1$，
∴CY=$\frac{XB•AC•YA}{AX•AB}$④，
∵$\frac{XB}{BC}=\frac{XM}{MC}=\frac{{S}_{△AXM}}{{S}_{△ACM}}=\frac{AXsinα}{ACsin（α+2β）}$，
∴$\frac{sinα}{sin（α+2β）}=\frac{XB•AC}{BN•YA}$⑤
∵$\frac{YN}{BN}=\frac{{S}_{AYN}}{{S}_{△ABN}}=\frac{AYsinα}{ABsin（a+2β）}$，
∴$\frac{sinα}{sin（α+2β）}=\frac{YN•AB}{BN•YA}$⑥
由⑤⑥得，$\frac{XB•AC}{BC•AX}=\frac{YN•AB}{BN•YA}$，
∴$\frac{XB•AC•YA}{AX•AB}=\frac{BC•YN}{BN}$⑦，
由④⑦得，$\frac{BC•YN}{BN}=CY$，
∴$\frac{BC}{CY}=\frac{BN}{YN}$，
由角平分线的逆定理得，CQ平分∠BCY，
∴Q是△KBC的旁心，
∴QK平分∠BKC．

点评 此题是梅涅劳斯定理与赛瓦定理，主要考查了角平分线定理及逆定理，三角形的旁心，解本题的关键是利用塞瓦定理得出CY=$\frac{XB•AC•YA}{AX•AB}$，是一道很好的竞赛题．