Question

如图1，点O为直线AB上一点，过O点作直线OC，使∠BOC=120°，将一块 含30°，60°的直角三角板的直角顶点放在O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB下方．
（1）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．问：直线ON是否平分∠AOC？请说明理由．
（2）将图1中的三角板绕点O按每秒6°的速度逆时针方向旋转一周．
①若旋转到某一时刻，使ON在∠AOC的内部，且∠AOM=3∠NOC，求旋转时间t的值．
②在旋转过程中，直线MN∥直线OC时，求旋转时间t的值．

Answer 1

考点：角的计算,角平分线的定义

专题：

分析：（1）由角的平分线的定义和等角的余角相等求解；
（2）①根据角之间的关系求出∠CON=15°，进而求出旋转角等于225°．
②由∠BOC=120°可得∠AOC=60°，则∠RON=30°，即旋转90°或270°时ON平分∠AOC，据此求解；

解答：解：（1）直线ON平分∠AOC．
理由：如图2，

设ON的反向延长线为OD，
∵OM平分∠BOC，
∴∠MOC=∠MOB，
又∵OM⊥ON，
∴∠MOD=∠MON=90°，
∴∠COD=∠BON，
又∵∠AOD=∠BON（对顶角相等），
∴∠COD=∠AOD，
∴OD平分∠AOC
即直线ON平分∠AOC．
（2）①如图3，

ON在∠AOC的内部，且∠AOM=3∠NOC，
∵∠AOM+∠AON=90°，∠CON+∠AON=60°，
∴∠AOM-∠CON=30°，
∴∠CON=15°，旋转角为225°，
故t=

225

6

=37.5（秒）．

②如图

如图4：
∵MN∥OC，
∴∠M=∠COM=30°，
∴∠BOM=90°，
即旋转角为90°，
∴t=90÷6=15（秒）
如图5：

∵MN∥OC，
∴∠ONM=∠AOC=60°
∴点N在AB上
∴旋转角为270°
∴t=270÷6=45（秒）
即t的值为：

90

6

=15（秒）或

270

6

=45（秒）．

点评：此题考查了角平分线的定义，应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键．