Question

如图，矩形ABCD中，EF是其对称轴，N在EF上，且BA=BN，现将AB折到与NB重合后展平，设折痕为BM（M在AD边上）．
（1）尺规作图：作出折痕BM（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）求∠MBN的度数；
（3）设MN的延长线交BC于G，试判定△BMG的形状，并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）

（2）依题意得：△ABM≌△BMN，
∴∠MNB=∠A=90°，∠1=∠2，
设BM与EF的交点为H，由EF是矩形ABCD的对称轴，
∴EF∥AD∥BC，且E为AB中点，
∴H也为BM中点，且∠MNB=90°，
∴HN=BH，
又EF∥BC，
∴∠4=∠3，
∵△BMN与△BGN关于BN对称，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2=∠3，
而∠ABC=90°，
∴∠MBN=30°；

（3）∵EF∥BC，且E为AB中点，
∴N也为MG的中点，
又∠MNB=90°，∠MBN=30°，
∴∠BMG=∠MBG=60°
∴△BMG为正三角形．
分析：（1）做∠ABN的角平分线，角平分线叫AD与M点，BM即为折痕；
（2）根据翻折变换的性质，推出∠1=∠2，根据轴对称的性质，推出EF∥AD∥BC，推出∠1=∠2=∠3即可；
（3）根据（2）的结论，结合三角形中位线的性质即可推出∠BMG=∠MBG=60°．
点评：本题主要考查了翻折变换的性质、矩形的性质、轴对称图形的性质、中位线的性质、等边三角形的定义和性质等知识点，解题的关键，根据题意画出图形、连接辅助线、推出∠1=∠2=∠3．