Question

8．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）如图（1），已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4）请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；
（2）如图（2），将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连结AD，DC，∠DCB=30°．求证：DC²+BC²=AC²，即四边形ABCD是勾股四边形．

Answer 1

分析 （1）由于∠AOB=90°，则OB²+OA²=AB²=25，则找出格点M使它到O点的距离为5（坐标轴上除外）可得到满足条件的四边形OAMB；
（2）连接CE，如图（2），利用旋转的性质得DE=AC，BC=BE，∠CBE=60°，则可判断△BCE为等边三角形，所以BC=CE，∠BCE=60°，再证明∠DCE=90°，然后利用勾股定理得到DC²+EC²=DE²，从而得到
DC²+BC²=AC²．

解答 解：（1）如图（1），四边形OAMB或四边形OAM′B为所作；

（2）连接CE，如图（2），
∵△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，
∴DE=AC，BC=BE，∠CBE=60°，
∴△BCE为等边三角形，
∴BC=CE，∠BCE=60°，
∵∠DCB=30°，
∴∠DCE=90°，
∴DC²+EC²=DE²，
∴DC²+BC²=AC^2_，
即四边形ABCD是勾股四边形．

点评 本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了阅读理解能力．