Question

8．如图，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE、BF、DF、DG、CG分别交于点P、Q、K、M、N，设△BPQ、△DKM、△CNH的面积依次为S₁、S₂、S₃．若S₁+S₃=10，则S₂的值为4．

Answer 1

分析 由条件可以得出△BPQ∽△DKM∽△CNH，可以求出△BPQ与△DKM的相似比为$\frac{1}{2}$，△BPQ与△CNH相似比为$\frac{1}{3}$，由相似三角形的性质，就可以求出S₁，从而可以求出S₂．

解答 解：∵矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，
∴AB=BD=CD，AE∥BF∥DG∥CH，
∴四边形BEFD，四边形DFGC是平行四边形，∠BQP=∠DMK=∠CHN，
∴BE∥DF∥CG
∴∠BPQ=∠DKM=∠CNH，
∵△ABQ∽△ADM，△ABQ∽△ACH，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{BQ}{CH}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{QB}{CH}$=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{1}{3}$，
∴△BPQ∽△DKM∽△CNH
∴$\frac{QB}{MD}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{1}{4}$，$\frac{{S}_{1}}{{S}_{3}}$=$\frac{1}{9}$，
∴S₂=4S₁，S₃=9S₁
∵S₁+S₃=10，
∴S₁=1，
∴S₂=4．
故答案为：4．

点评 本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式，得出S₂=4S₁，S₃=9S₁是解题关键．