Question

3．已知抛物线y=x²+（2k+1）x-k²+k．
（1）求证：此抛物线与x轴有两个不同的公共点；
（2）当k=0时，求此抛物线与坐标轴的公共点坐标．

Answer 1

分析 （1）只需证明△=（2k+1）²-4（-k²+k）＞0即可；
（2）将k=0代入，令y=0求出抛物线与x轴的交点坐标，令x=0求出抛物线与y轴的交点坐标．

解答 证明：（1）∵△=（2k+1）²-4（-k²+k）=4k+1-4k=1＞0，
∴抛物线与x轴有两个不同的交点；

（2）当k=时，y=x²+x，
当y=0时，x²+x=0，
解得：x₁=0，x₂=-1，
即抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（-1，0），
令x=0，y=0，抛物线经过坐标原点，
即抛物线与坐标轴的公共点坐标为（0，0），（-1，0）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是根据根的判别式△恒大于0证明抛物线与x轴有两个不同的交点，此题难度不大．