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    16．已知正方形ABCD，AB=8，点E、F分别从点A、D同时出发，以每秒1m的速度分别沿着线段AB、DC向点B、C方向的运动，设运动时间为t．
    （1）求证：OE=OF．
    （2）在点E、F的运动过程中，连结AF．设线段AE、OE、OF、AF所形成的图形面积为S．
    探究：①S的大小是否会随着运动时间为t的变化而变化？若会变化，试求出S与t的函数关系式；若不会变化，请说明理由．
    ②连结EF，当运动时间为t为何值时，△OEF的面积恰好等于的$\frac{1}{3}$S．

    分析 （1）根据正方形的性质得出OA=OD，∠EAO=∠FDO=45°，求出AE=DF=t，根据SAS推出△EAO≌△FDO即可；
    （2）①延长EO交DC于M，求出△AOE≌△COM，根据全等三角形的性质得出AE=CM=t，根据S=S四边形AEMF-S△FOM求出即可；
    ②根据全等得出OE=OM，求出S△EOF=$\frac{1}{2}$S△EFM=16-4t，即可得出方程16-4t=$\frac{1}{3}$×16，求出即可．

    解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
    ∴OA=OD，∠EAO=∠FDO=45°，
    ∵点E、F分别从点A、D同时出发，以每秒1m的速度分别沿着线段AB、DC向点B、C方向的运动，设运动时间为t，
    ∴AE=DF=t，
    在△EAO和△FDO中
    $\left\{\begin{array}{l}{OA=OD}\\{∠EAO=∠FDO}\\{AE=DF}\end{array}\right.$
    ∴△EAO≌△FDO（SAS），
    ∴OE=OF；

    （2）解：①S的大小不会随着运动时间为t的变化而变化，
    理由是：延长EO交DC于M，
    当M在FC上时，
    ∵四边形ABCD是正方形，
    ∴∠OAE=∠MCO=45°，OA=OC，
    在△AOE和△COM中
    $\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠MCO}\\{AO=CO}\\{∠AOE=∠COM}\end{array}\right.$
    ∴△AOE≌△COM（ASA），
    ∴AE=CM=t，
    ∴S=S四边形AEMF-S△FOM
    =$\frac{1}{2}$（t+8-t-t）•8-$\frac{1}{2}$×（8-t-t）•4
    =16，

    当M在FD上时，
    S=△AOE+S△AOF
    =S△COM+S△AOF
    =$\frac{1}{2}$S△AMC+$\frac{1}{2}$S△AFC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×t×8+$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$（8-t）×8=16；
    所以S的大小不会随着运动时间为t的变化而变化；

    ②∵△AOE≌△COM，
    ∴OE=OM，
    ∴S△EOF=S△FOM=$\frac{1}{2}$S△EFM=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$（8-t-t）•8=16-4t，
    ∵△OEF的面积恰好等于的$\frac{1}{3}$S，
    ∴16-4t=$\frac{1}{3}$×16，
    解得：t=$\frac{8}{3}$，
    根据对称性可知，t=$\frac{16}{3}$s时，也满足条件．
    即当运动时间为t为$\frac{8}{3}$s或$\frac{16}{3}$s时，△OEF的面积恰好等于的$\frac{1}{3}$S．

    点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大．

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