Question

【题目】如图，AB是半圆的直径，O为圆心，点C是弧BE的中点，过点C作PC⊥AE于点D，交AB的延长线于点P

（1）求证：直线PC是⊙O的切线；

（2）若∠P＝30°，AD＝3，求阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】

（1）连接OC，如图，由弧BC=弧CE得到∠BAC=∠EAC，加上∠OCA=∠OAC．则∠OCA=∠EAC，所以OC∥AE，从而得到PC⊥OC，然后根据切线的判定定理得到结论；

（2）解直角三角形求得AP，根据平行线分线段成比例定理求得OC，OP，利用勾股定理求得CP，然后根据S阴=S△OCP﹣S扇形BOC求解即可．

（1）连接OC．

∵点C为弧BE的中点，

∴弧BC=弧CE，

∴∠BAC=∠EAC．

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC，

∴∠OCA=∠EAC，

∴OC∥AE．

∵PC⊥AE，

∴OC⊥PC，

∴PC是⊙O的切线．

（2）在Rt△ADP中，∠P=30°，AD=3，

∴AP=2AD=6．

∵OC∥AD，

∴，

设OC=x，则OP=6﹣x，

∴，

解得：x=2，

∴OC=2，OP=4，

∴在Rt△OCP中，CP2，

∴S阴=S△OCP﹣S扇形BOCOCPC2．