Question

【题目】如图，在中，，，，点从点出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点运动的时间是秒．过点作于点，连接．

（1）______．（用含的代数式表示）

（2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由．

（3）当为何值时，为直角三角形？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）t；（2）当时，四边形AEFD是菱形；（3）当t为或4时，△DEF为直角三角形．

【解析】

（1）由题意得CD＝2t，利用含30度角的直角三角形的性质可表示出DF；

（2）首先求出AB∥DF，AE＝DF＝t，可得四边形AEFD是平行四边形，然后可得当AE＝AD时，平行四边形AEFD是菱形，据此列方程求出t即可；

（3）易知当△DEF为直角三角形时，△EDA是直角三角形，分∠AED＝90°和∠ADE＝90°两种情况考虑，利用30度角的对边等于斜边的一半，可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．

解：（1）由题意得：CD＝2t，，，

∴DF＝，

故答案为：t；

（2）∵，，，

∴AC＝2AB＝10cm，

∴AD＝10－2t，

又∵∠DFC＝90°，

∴AB∥DF，

∵AE＝t，DF＝t，

∴AE＝DF，

∴四边形AEFD是平行四边形，

若使平行四边形AEFD是菱形，则需满足AE＝AD，即t＝10－2t，

解得：，

即当时，四边形AEFD是菱形；

（3）∵四边形AEFD是平行四边形，

∴当△DEF为直角三角形时，△EDA是直角三角形，

当∠AED＝90°时，AD＝2AE，即102t＝2t，

解得：t＝；

当∠ADE＝90°时，AE＝2AD，即t＝2（102t），

解得：t＝4，

综上所述：当t为或4时，△DEF为直角三角形．