Question

如图：⊙O₁与⊙O₂外切于点P，O₁O₂的延长线交⊙O₂于点A，AB切⊙O₁于点B，交⊙O₂于点C，BE是⊙O₁的直径，过点B作BF_┴O₁P，垂足为F，延长BF交PE于点G．
（1）求证：PB²=PG•PE；
（2）若PF=，tan∠A=，求：O₁O₂的长．

Answer 1

（1）证明：∵O₁P=O₁E，
∴∠E=∠O₁PE，
∵∠O₁PE+∠PGB=90°，∠PBG+∠PGB=90°，
∴∠PBG=∠O₁PG=∠E，
∵∠BPE=∠GPB，
∴△BPE∽△GPB，
∴=即：PB²=PG•PE；

（2）解：∵∠A+∠AO₁B=∠O₁BF+∠AO₁B=90°，
∴∠O₁BF=∠A，
∴tan∠O₁BF==，
∴O₁F=BF，
设O₁B=x，O₁F=x-，BF=O₁F=x-2，
在直角三角形O₁FB中，根据勾股定理有：
O₁F²+BF²=O₁B²，
（x-）²+（x-2）²=x²，
解得x₁=，x₂=，
x=＜，不合题意舍去．
因此O₁B=O₁P=．
在直角三角形AO₁B中，sin∠BAO₁=．
因此AO₁=，
AP=AO₁-O₁P=，因此圆O₂的半径为，
因此O₁O₂=O₁P+O₂P==5．
分析：（1）可通过证三角形BPG和EPB相似来求证，这两个三角形中已知了一个公共角，根据等边对等角和等角的余角相等可得出另一组对应角相等，得出两三角形全等后即可得出本题所求的结论；
（2）本题的关键是让PF和tan∠A联系起来，∠A=∠EBG，那么可用圆O₁的半径和PF的长表示出OF和BF根据勾股定理来求出O₁B的长，也就求出了AB的长，然后根据∠A的正弦值即可求出O₁P+AP的长，也就求出了AP即圆O₂的半径的长，由此可得出O₁O₂的值．
点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，切线的性质以及解直角三角形的应用等知识点．