Question

如图，已知AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线MD交AC于点D，交AB于点M．下列结论：
①BD是∠ABC的平分线；②△BCD是等腰三角形；③DC+BC=AB，正确的有

1. A.
   0个
2. B.
   1个
3. C.
   2个
4. D.
   3个

Answer 1

D
分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，再根据等边对等角可得∠ABD=∠A=36°，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC=∠ACB=72°，然后求出∠CBD=36°，再对各小题分析判断即可得解．
解答：∵MD是AB的中垂线，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=36°，
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=×（180°-36°）=72°，
∴∠CBD=72°-36°=36°，
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD是∠ABC的平分线，故①正确；
又∵∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°，
∴∠C=∠BDC，
∴BC=BD，
∴△BCD是等腰三角形，故②正确；
DC+BC=DC+BD=DC+AD=AB，故③正确；
综上所述，正确的有①②③共3个．
故选D．
点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形的判定与性质，根据三角形中的度数相等得到相等的角是解题的关键．