Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB=10cm，点P，Q同时由A，C两点出发，分别沿AC，CB方向移动，他们的速度都是1cm/s，经过几秒，P，Q相距cm？并求此时△PCQ的面积．

Answer 1

解：设经过x秒，P，Q相距cm，
依题意得AP=x、CP=8-x、CQ=x，
∵在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB=10cm，
∴BC=6cm，
∴PQ=，
∴（）²=（8-x）²+x²，
∴x₁=2，x₂=6，
当x=2时，CP=8-x=6、CQ=x=2，∴S_△PCQ=CP×CQ=6；
当x=6时，CP=8-x=2、CQ=x=6，∴S_△PCQ=CP×CQ=6．
分析：设经过x秒，P，Q相距cm，那么可以用x分别表示AP、CP、CQ的长度，然后利用勾股定理即可列出关于x的方程，解方程即可求出CP、CQ的长度，然后就可以求出△PCQ的面积．
点评：此题把一元二次方程放在直角三角形的背景中，利用勾股定理列出方程解决问题，考查了直角三角形的知识和一元二次方程的知识，有一定的综合性．